Tenglama va tengsizliklar

Ikkinchi va yuqori darajali tenglamalar sistemasi

2 daqiqa o'qish · 10 mashq

Ushbu darsda kamida bitta tenglamasi ikkinchi yoki undan yuqori darajali bo‘lgan tenglamalar sistemalarini yechishni o‘rganamiz.

§1. Umumiy g‘oya

Ta’rif. Kamida bitta tenglamasi ikkinchi (yoki undan yuqori) darajali bo‘lgan sistema nochiziqli sistema deyiladi.

Bunday sistemalar odatda o‘rniga qo‘yish usuli bilan yechiladi: bir tenglamadan bitta noma’lumni ifodalab, uni ikkinchi tenglamaga qo‘yamiz va bitta noma’lumli kvadrat tenglamaga kelamiz.

Savol. Nima uchun bunday sistemada bir nechta yechim juftligi bo‘lishi mumkin? Chunki to‘g‘ri chiziq parabola yoki aylanani bir emas, bir nechta nuqtada kesib o‘tishi mumkin.

§2. O‘rniga qo‘yish usuli

Misol. Sistemani yeching:

{x−y=1x2+y2=25\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}

Yechish. Birinchi tenglamadan x=y+1x = y + 1. Uni ikkinchisiga qo‘yamiz:

(y+1)2+y2=25(y + 1)^2 + y^2 = 25
y2+2y+1+y2=25y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25
2y2+2y−24=0⇒y2+y−12=02y^2 + 2y - 24 = 0 \quad\Rightarrow\quad y^2 + y - 12 = 0

Viyet bo‘yicha y1=3, y2=−4y_1 = 3,\ y_2 = -4. Mos xx qiymatlari x=y+1x = y + 1: x1=4, x2=−3x_1 = 4,\ x_2 = -3.

Javob. (4; 3)(4;\ 3) va (−3; −4)(-3;\ -4).

§3. Boshqa turlari

Misol. Sistemani yeching:

{x+y=5xy=6\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}

Yechish. Bu — yig‘indi va ko‘paytma berilgan, Viyet teoremasining teskari masalasi. xx va yy — quyidagi tenglamaning ildizlari:

t2−5t+6=0⇒t1=2, t2=3t^2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow t_1 = 2,\ t_2 = 3

Javob. (2; 3)(2;\ 3) va (3; 2)(3;\ 2).

Misol. Sistemani yeching:

{y=x2y=x+2\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}

Yechish. Ikkala ifodani tenglashtiramiz:

x2=x+2⇒x2−x−2=0x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0
(x−2)(x+1)=0⇒x1=2, x2=−1(x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 2,\ x_2 = -1

y=x+2y = x + 2 dan: y1=4, y2=1y_1 = 4,\ y_2 = 1.

Javob. (2; 4)(2;\ 4) va (−1; 1)(-1;\ 1).

Misol. Sistemani yeching:

{x2−y=3y=2x\begin{cases} x^2 - y = 3 \\ y = 2x \end{cases}

Yechish. y=2xy = 2x ni birinchisiga qo‘yamiz:

x2−2x=3⇒x2−2x−3=0x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0⇒x1=3, x2=−1(x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 3,\ x_2 = -1

y=2xy = 2x dan: y1=6, y2=−2y_1 = 6,\ y_2 = -2.

Javob. (3; 6)(3;\ 6) va (−1; −2)(-1;\ -2).

Eslatma. Har bir topilgan xx ga mos yy ni chiziqli tenglamadan hisoblang va juftlikni sistemaga qo‘yib tekshiring — bu yo‘qolgan yoki ortiqcha yechimning oldini oladi.

§ Lug‘at

nochiziqli sistema — nonlinear system
o‘rniga qo‘yish — substitution
yechim juftligi — solution pair
simmetrik sistema — symmetric system
kesishish nuqtasi — intersection point
ildiz — root

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring

10 ta mashq savoli tayyor. Har bir savoldan keyin batafsil yechim ko'rsatiladi va natijangiz saqlanadi.

Mashqni boshlash