Chiziqli tenglamalar sistemasi

Ushbu darsda ikkita noma’lumli ikkita tenglama birgalikda berilganda — ya’ni chiziqli tenglamalar sistemasida — ularning umumiy yechimini qanday topishni o‘rganamiz.

§1. Sistema tushunchasi

Ta’rif. Bir nechta tenglama birgalikda, umumiy yechim izlanganda, tenglamalar sistemasi deyiladi va figurali qavs bilan yoziladi:

Ta’rif. Sistemaning yechimi — barcha tenglamalarni bir vaqtda to‘g‘ri qiladigan $(x;\ y)$ juftlik.

Savol. Ikkita to‘g‘ri chiziq tekislikda qanday joylashishi mumkin? Ular kesishadi (bitta yechim), parallel bo‘ladi (yechim yo‘q) yoki ustma-ust tushadi (cheksiz yechim).

§2. O‘rniga qo‘yish usuli

Qoida. Bir tenglamadan bitta noma’lumni ikkinchisi orqali ifodalab, uni boshqa tenglamaga qo‘yamiz. Shunda bitta noma’lumli tenglama hosil bo‘ladi.

Misol. Sistemani yeching:

Yechish. Birinchi tenglamadagi $y$ ni ikkinchisiga qo‘yamiz:

Endi $y = 2\cdot 2 - 1 = 3$.

Javob. $(2;\ 3)$.

§3. Qo‘shish usuli

Qoida. Koeffitsientlarni tenglashtirib, tenglamalarni hadma-had qo‘shamiz yoki bir-biridan ayiramiz — shunda bitta noma’lum yo‘qoladi.

Misol. Sistemani yeching:

Yechish. Ikkinchi tenglamani birinchisidan ayiramiz ($2x$ yo‘qoladi):

Endi $2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.

Javob. $(2;\ 3)$.

Misol. Sistemani yeching:

Yechish. $2y$ va $-2y$ qarama-qarshi, tenglamalarni hadma-had qo‘shamiz:

$3\cdot 2 + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.

Javob. $(2;\ 3)$.

Eslatma. Agar amallardan keyin noma’lumlar yo‘qolib $0 = 0$ chiqsa — cheksiz yechim; $0 = 5$ kabi yolg‘on tenglik chiqsa — yechim yo‘q (parallel chiziqlar).

§ Lug‘at

sistema — system
o‘rniga qo‘yish usuli — substitution method
qo‘shish usuli — elimination method
yechim juftligi — solution pair
kesishish — intersection
parallel — parallel