Logarifmik tenglamalar

Ushbu darsda logarifm belgisi ostida noma’lum qatnashgan tenglamalar — logarifmik tenglamalar haqida so‘z yuritamiz. Logarifm — darajaga ko‘tarishga teskari amal: $\log_a b$ degani «$a$ ni qaysi darajaga ko‘tarsak $b$ chiqadi?» degan savolga javobdir.

§1. Logarifm va uning xossalari

Ta’rif. $a>0,\ a\ne 1,\ b>0$ uchun $\log_a b = c \iff a^c = b$. Ya’ni logarifm — darajaning ko‘rsatkichi.

Qoida. Asosiy xossalar ($x,y>0$):
$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$; $\quad \log_a \tfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$;
$\log_a x^k = k\log_a x$; $\quad a^{\log_a x} = x$.

Eslatma. Logarifm faqat musbat sondan olinadi. Shuning uchun har bir yechimni aniqlanish sohasiga (ODZ) — logarifm ostidagi ifodalar musbatligiga qarab tekshirish shart.

§2. Eng sodda tenglamalar

Qoida. $\log_a f(x) = c \iff f(x) = a^c$ (bunda $f(x)>0$).
$\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$, hamda $f(x)>0$.

Misol. $\log_2 (x-1) = 3$ tenglamani yeching.
Yechish. Ta’rif bo‘yicha:

ODZ: $x-1>0$, ya’ni $x>1$ — bajariladi.

Javob. $x = 9$.

Misol. $\log_5 (2x+3) = \log_5 (x+8)$ tenglamani yeching.
Yechish. Asoslar teng, logarifm ostini tenglaymiz:

ODZ: $2\cdot5+3 = 13>0$ va $5+8=13>0$ — to‘g‘ri.

Javob. $x = 5$.

§3. Xossalardan foydalanish

Misol. $\log_3 x + \log_3 (x-2) = 1$ tenglamani yeching.
Yechish. Yig‘indi xossasi: $\log_3 [x(x-2)] = 1$, demak $x(x-2)=3$:

ODZ: $x>0$ va $x-2>0$, ya’ni $x>2$. $x=-1$ mos emas.

Javob. $x = 3$.

Misol. $\log_2 (x+2) + \log_2 (x-2) = 5$ tenglamani yeching.
Yechish. $\log_2 [(x+2)(x-2)] = 5 \Rightarrow x^2 - 4 = 2^5 = 32$:

ODZ: $x>2$. Demak $x=-6$ begona.

Javob. $x = 6$.

§4. Yangi o‘zgaruvchi kiritish

Misol. $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0$ tenglamani yeching.
Yechish. $t = \log_2 x$ deb belgilaymiz:

$\log_2 x = 1 \Rightarrow x=2$; $\ \log_2 x = 2 \Rightarrow x=4$. Ikkalasi ham $x>0$.

Javob. $x = 2;\ x = 4$.

Savol. Nima uchun logarifmik tenglamada tekshirish ayniqsa muhim? Chunki xossalarni qo‘llaganda (masalan yig‘indini ko‘paytmaga aylantirganda) aniqlanish sohasi kengayishi va begona ildizlar kirib qolishi mumkin.

Eslatma. Doimo boshida ODZ ni yozib qo‘ying: logarifm ostidagi barcha ifodalar musbat, asos musbat va $1$ ga teng emas. Bu xatolardan asraydi.

§ Lug‘at

logarifmik tenglama — logarithmic equation
logarifm — logarithm
asos — base
aniqlanish sohasi (ODZ) — domain of definition
logarifm xossalari — properties of logarithms
begona ildiz — extraneous root