Viyet teoremasi

Ushbu darsda kvadrat tenglama ildizlarini diskriminantsiz, tez topishga yordam beradigan nafis vosita — Viyet teoremasi bilan tanishamiz.

§1. Teorema mazmuni

Ta’rif. Bosh koeffitsienti $1$ ga teng bo‘lgan $x^2 + px + q = 0$ ko‘rinishidagi tenglama keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi.

Qoida. Viyet teoremasi: agar $x_1$ va $x_2$ — $x^2 + px + q = 0$ tenglamaning ildizlari bo‘lsa, u holda

Ya’ni ildizlar yig‘indisi o‘rtadagi koeffitsientning qarama-qarshisiga, ko‘paytmasi esa ozod hadga teng.

Savol. Bu nima uchun foydali? Butun ildizli tenglamalarda ildizlarni og‘zaki, formulaga murojaat qilmasdan topsa bo‘ladi.

§2. Ildizlarni og‘zaki topish

Misol. $x^2 - 7x + 12 = 0$ ni Viyet bo‘yicha yeching.
Yechish. Yig‘indisi $7$, ko‘paytmasi $12$ bo‘lgan ikki sonni izlaymiz:

Bunga $3$ va $4$ mos keladi: $3 + 4 = 7,\ 3\cdot 4 = 12$.

Javob. $x_1 = 3,\ x_2 = 4$.

Misol. $x^2 + 2x - 15 = 0$ ni yeching.
Yechish. Yig‘indi $-2$, ko‘paytma $-15$. Ko‘paytma manfiy — demak ildizlar turli ishorali. Bunga $3$ va $-5$ mos keladi: $3 + (-5) = -2,\ 3\cdot(-5) = -15$.
Javob. $x_1 = 3,\ x_2 = -5$.

Misol. $x^2 - 5x - 6 = 0$ ni yeching.
Yechish. Yig‘indi $5$, ko‘paytma $-6$. Bunga $6$ va $-1$ mos keladi.
Javob. $x_1 = 6,\ x_2 = -1$.

§3. Teskari masala

Qoida. Yig‘indisi $S$ va ko‘paytmasi $P$ bo‘lgan ikki son quyidagi tenglamaning ildizlaridir:

Misol. Ildizlari $2$ va $5$ bo‘lgan keltirilgan kvadrat tenglama tuzing.
Yechish. $S = 2 + 5 = 7,\ P = 2\cdot 5 = 10$:

Javob. $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Eslatma. Agar tenglama $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 1$) bo‘lsa, Viyet formulalari $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ va $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ ko‘rinishini oladi.

§ Lug‘at

Viyet teoremasi — Vieta’s theorem
keltirilgan tenglama — reduced (monic) equation
ildizlar yig‘indisi — sum of roots
ildizlar ko‘paytmasi — product of roots
ozod had — constant term
bosh koeffitsient — leading coefficient