Chiziqli tengsizlik va tengsizliklar sistemasi

Ushbu darsda tenglik o‘rniga “katta” yoki “kichik” belgisi turgan chiziqli tengsizliklar va ularning sistemalari bilan tanishamiz.

§1. Tengsizlik tushunchasi

Ta’rif. Ikki ifoda orasida $<,\ >,\ \le,\ \ge$ belgilaridan biri turgan yozuv tengsizlik deyiladi. $ax + b > 0$ ko‘rinishidagisi chiziqli tengsizlik.

Tengsizlikni yechish — uni to‘g‘ri qiladigan barcha $x$ larni topish. Javob odatda bitta son emas, balki butun bir oraliq bo‘ladi.

Qoida. Tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil son qo‘shish yoki undan ayirish mumkin. Ikkala tomonni musbat songa ko‘paytirsak belgi saqlanadi; manfiy songa ko‘paytirsak yoki bo‘lsak, belgi qarama-qarshiga o‘zgaradi!

Eslatma. Manfiy songa bo‘lganda belgini teskari qilishni unutmaslik — bu bo‘limda eng ko‘p uchraydigan xato aynan shu.

§2. Chiziqli tengsizlikni yechish

Misol. $3x - 5 < 7$ ni yeching.
Yechish.

Javob. $x \in (-\infty;\ 4)$.

Misol. $-2x + 1 \ge 7$ ni yeching.
Yechish.

Manfiy songa bo‘lamiz, belgi o‘zgaradi:

Javob. $x \in (-\infty;\ -3]$.

§3. Tengsizliklar sistemasi

Ta’rif. Bir nechta tengsizlik bir vaqtda bajarilishi talab qilinsa, tengsizliklar sistemasi hosil bo‘ladi. Uning yechimi — har bir tengsizlik yechimlarining kesishmasi (umumiy qismi).

Misol. Sistemani yeching:

Yechish. Har birini alohida yechamiz:

Ikkalasi ham bajarilishi uchun oraliqlarni kesishtiramiz:

Javob. $x \in (2;\ 5)$.

Misol. $-1 \le 2x + 3 \le 9$ qo‘sh tengsizlikni yeching.
Yechish. Barcha qismdan $3$ ni ayiramiz, so‘ng $2$ ga bo‘lamiz:

Javob. $x \in [-2;\ 3]$.

§ Lug‘at

tengsizlik — inequality
oraliq — interval
kesishma — intersection
qo‘sh tengsizlik — double inequality
belgi — sign
yechimlar to‘plami — solution set