Irratsional tenglamalar

Ushbu darsda ildiz (radikal) belgisi ostida noma’lum qatnashgan tenglamalar — irratsional tenglamalar haqida so‘z yuritamiz. Ularni yechishning asosiy g‘oyasi oddiy: ildizdan qutulish uchun tenglama tomonlarini darajaga ko‘tarish. Ammo bu yerda bir tuzoq bor — u haqda albatta gaplashamiz.

§1. Asosiy g‘oya va aniqlanish sohasi

Ta’rif. Noma’lum ifoda kvadrat (yoki boshqa) ildiz belgisi ostida turgan tenglama irratsional tenglama deyiladi. Masalan $\sqrt{x+3}=x-1$.

Juft darajali ildiz manfiy bo‘lmagan sondan olinadi va o‘zi ham manfiy bo‘lmaydi. Shu ikki shart aniqlanish sohasini beradi.

Qoida. $\sqrt{f(x)} = g(x)$ tenglama quyidagi sistemaga teng kuchli:

$$\begin{cases} f(x) = g(x)^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$$

Bu yerda $f(x) \ge 0$ shartini alohida yozish shart emas — u $f(x)=g(x)^2 \ge 0$ dan avtomatik kelib chiqadi.

Savol. Nega $g(x) \ge 0$ sharti muhim? Chunki ildiz hech qachon manfiy son bermaydi. Agar o‘ng tomon manfiy bo‘lsa, tenglik mumkin emas.

§2. Kvadratlash va begona ildizlar

Eslatma. Tomonlarni kvadratlaganda begona (soxta) ildizlar paydo bo‘lishi mumkin, chunki $a=b$ dan $a^2=b^2$ kelib chiqadi, ammo teskarisi doim emas. Shuning uchun topilgan ildizlarni albatta dastlabki tenglamaga qo‘yib tekshiramiz.

Misol. $\sqrt{x+3} = x-1$ tenglamani yeching.
Yechish. Ikki tomonni kvadratlaymiz:

Diskriminant: $D = 9 + 8 = 17$, demak $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Bu yerda $\sqrt{17}\approx 4{,}12$. Shart $x-1 \ge 0$, ya’ni $x \ge 1$. $x = \dfrac{3-\sqrt{17}}{2} < 0$ — begona ildiz.

Javob. $x = \dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$.

Misol. $\sqrt{2x+7} = 3$ tenglamani yeching.
Yechish. O‘ng tomon musbat, to‘g‘ridan kvadratlaymiz:

Tekshiramiz: $\sqrt{2\cdot 1 + 7} = \sqrt{9} = 3$. To‘g‘ri.

Javob. $x = 1$.

§3. Ikki ildizli tenglamalar

Agar ikkita ildiz bo‘lsa, avval bittasini yakkalaymiz (bir tomonga o‘tkazamiz), kvadratlaymiz, keyin qolgan ildizni yana yakkalab qayta kvadratlaymiz.

Misol. $\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$ tenglamani yeching.
Yechish. Bir ildizni o‘ng tomonga o‘tkazamiz:

Kvadratlaymiz:

Yana kvadratlaymiz: $x-1 = 4 \Rightarrow x = 5$.
Tekshiramiz: $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. To‘g‘ri.

Javob. $x = 5$.

Misol. $\sqrt{x^2 - 3x} = 2$ tenglamani yeching.
Yechish. Kvadratlaymiz:

Demak $x=4$ yoki $x=-1$. Ikkalasida ham ildiz osti manfiy emas ($16-12=4$ va $1+3=4$), o‘ng tomon musbat.

Javob. $x = 4$ yoki $x = -1$.

Eslatma. Yangi o‘zgaruvchi kiritish ham foydali. Masalan $x + \sqrt{x} - 6 = 0$ da $t=\sqrt{x}\ge 0$ deb olsak, $t^2 + t - 6 = 0$, ya’ni $t=2$ (chunki $t=-3$ mos emas), demak $x=4$.

§ Lug‘at

irratsional tenglama — irrational equation
ildiz (radikal) — root (radical)
kvadratlash — squaring
begona ildiz — extraneous root
aniqlanish sohasi — domain
tekshirish — verification