Ko'rsatkichli tenglamalar — nazariya, formulalar va misollar

Ushbu darsda noma’lum daraja ko‘rsatkichida (pog‘onasida) turgan tenglamalar — ko‘rsatkichli tenglamalar haqida so‘z yuritamiz. Ularning kaliti bitta oddiy g‘oyada: agar asoslar bir xil bo‘lsa, darajalarni tenglashtiramiz.

§1. Asosiy xossa

Ta’rif. Noma’lum daraja ko‘rsatkichida qatnashgan tenglama ko‘rsatkichli tenglama deyiladi. Masalan $2^x = 8$ .

Ko‘rsatkichli funksiya $y=a^x$ (bunda $a>0,\ a\ne 1$ ) qat’iy monoton — o‘suvchi yoki kamayuvchi. Demak har bir qiymat faqat bitta $x$ ga mos keladi. Aynan shu monotonlik quyidagi qoidani beradi.

Qoida. $a>0,\ a\ne 1$ bo‘lsa, $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ .

Savol. Nima uchun $a \ne 1$ sharti kerak? Chunki $1^x = 1$ har qanday $x$ da to‘g‘ri, monotonlik yo‘qoladi va qoida ishlamaydi.

§2. Asoslarni tenglashtirish

Misol. $2^x = 8$ tenglamani yeching.
Yechish. $8 = 2^3$ , demak asoslar bir xil:

2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3

Javob. $x = 3$ .

Misol. $9^{x-1} = 27$ tenglamani yeching.
Yechish. Har ikkalasini $3$ asosga keltiramiz: $9 = 3^2,\ 27 = 3^3$ :

3^{2(x-1)} = 3^3 \Rightarrow 2(x-1) = 3 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2{,}5

Javob. $x = 2{,}5$ .

Misol. $5^{x^2 - 3} = 25^x$ tenglamani yeching.
Yechish. $25 = 5^2$ :

5^{x^2-3} = 5^{2x} \Rightarrow x^2 - 3 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0

(x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 3 \ \text{yoki}\ x = -1

Javob. $x = 3;\ x = -1$ .

§3. Yangi o‘zgaruvchi kiritish

Agar tenglamada bir xil asosli darajalar takrorlansa, ularni yangi o‘zgaruvchi bilan almashtirib, kvadrat tenglamaga o‘tamiz.

Eslatma. $a^{2x} = (a^x)^2$ ekanini eslab qoling. Bu ayniyat ko‘pgina ko‘rsatkichli tenglamani kvadrat tenglamaga keltiradi.

Misol. $4^x - 5\cdot 2^x + 4 = 0$ tenglamani yeching.
Yechish. $4^x = (2^x)^2$ . $t = 2^x > 0$ deb belgilaymiz:

t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-4) = 0 \Rightarrow t = 1 \ \text{yoki}\ t = 4

$t = 2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $\ t = 2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Javob. $x = 0;\ x = 2$ .

Misol. $3^{x+1} + 3^{x-1} = 30$ tenglamani yeching.
Yechish. $3^{x+1} = 3\cdot 3^x,\ 3^{x-1} = \dfrac{3^x}{3}$ . $t = 3^x$ desak:

3t + \tfrac{t}{3} = 30 \Rightarrow \tfrac{10t}{3} = 30 \Rightarrow t = 9

$3^x = 9 \Rightarrow x = 2$ .

Javob. $x = 2$ .

Misol. $2^x = 5$ tenglamani yeching.
Yechish. $5$ ni $2$ ning butun darajasi sifatida yozib bo‘lmaydi. Logarifm olamiz:

x = \log_2 5

Javob. $x = \log_2 5 \approx 2{,}32$ .

Eslatma. Agar asoslarni umumiy holga keltirib bo‘lmasa, tenglamani logarifmlash — universal usul.

§ Lug‘at

ko‘rsatkichli tenglama — exponential equation
asos — base
daraja ko‘rsatkichi — exponent
monoton funksiya — monotonic function
yangi o‘zgaruvchi — substitution (new variable)
logarifmlash — taking logarithm

§1. Asosiy xossa

§2. Asoslarni tenglashtirish

§3. Yangi o‘zgaruvchi kiritish

§ Lug‘at

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring