Uchburchakda burchaklar

Ushbu darsda uchburchakning eng muhim xossasi — uning ichki burchaklari yig‘indisi haqida so‘z yuritamiz. Bu bitta qoida son-sanoqsiz masalalarning kalitidir.

§1. Ichki burchaklar yig‘indisi

Uchburchakning uch burchagi bor. Ularni qanchalik cho‘zib yoki siqmaylik, yig‘indisi hamisha bir xil bo‘lib qoladi.

Qoida. Har qanday uchburchakning ichki burchaklari yig‘indisi $180°$ ga teng:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

Nega aynan $180°$? Uchburchakning bir uchidan qarshi tomonga parallel chiziq o‘tkazsak, uchta burchak yoyilib, to‘g‘ri chiziq (ya’ni $180°$) hosil qiladi. Parallel chiziqlardagi almashinuvchi burchaklar bu sirni ochib beradi.

Savol. Uchburchakda ikkita to‘g‘ri burchak ($90°+90°=180°$) bo‘lishi mumkinmi? Yo‘q! Chunki uchinchi burchakka $0°$ qolar, bu esa uchburchak emas.

§2. Tashqi burchak

Uchburchak tomonini davom ettirsak, tashqi burchak hosil bo‘ladi.

Ta’rif. Uchburchak tomonining davomi bilan qo‘shni tomon orasidagi burchak tashqi burchak deyiladi.

Qoida. Uchburchakning tashqi burchagi o‘ziga qo‘shni bo‘lmagan ikki ichki burchak yig‘indisiga teng.

§3. Masalalar

Misol. Uchburchakning ikki burchagi $50°$ va $70°$. Uchinchisini toping.
Yechish. Yig‘indi $180°$ bo‘lgani uchun uchinchisi qolgan qismdir:

$$\angle C = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°$$

Javob. $60°$.

Misol. Teng tomonli uchburchakning har bir burchagini toping.
Yechish. Uchala burchak teng, yig‘indisi $180°$:

$$\angle = \frac{180°}{3} = 60°$$

Javob. Har biri $60°$.

Misol. Teng yonli uchburchakning uchidagi burchak $40°$. Asosidagi burchaklarni toping.
Yechish. Asosdagi ikki burchak teng, ularni $x$ desak:

$$40° + x + x = 180° \;\Rightarrow\; 2x = 140° \;\Rightarrow\; x = 70°$$

Javob. Har biri $70°$.

Misol. Uchburchakning tashqi burchagi $120°$, undan uzoqdagi ichki burchaklardan biri $45°$. Ikkinchisini toping.
Yechish. Tashqi burchak ikki uzoq ichki burchak yig‘indisiga teng:

$$120° = 45° + x \;\Rightarrow\; x = 120° - 45° = 75°$$

Javob. $75°$.

Eslatma. Agar burchaklar nisbat bilan berilsa (masalan $2:3:4$), yig‘indini qismlarga bo‘ling. Bir qism $\frac{180°}{2+3+4} = 20°$, keyin har birini ko‘paytiring.

§ Lug‘at

ichki burchak — interior angle
tashqi burchak — exterior angle
yig‘indi — sum
teng tomonli uchburchak — equilateral triangle
teng yonli uchburchak — isosceles triangle
asos — base
uch — vertex
nisbat — ratio