Uchburchak bissektrisasi va uning xossalari

Ushbu darsda uchburchakning burchagini teng ikkiga bo‘luvchi maxsus kesma — bissektrisa va uning ajoyib xossalari haqida so‘z yuritamiz.

§1. Bissektrisa tushunchasi

Har bir burchakning “o‘rta chizig‘i” bor — u burchakni ikkita teng qismga ajratadi.

Ta’rif. Uchburchak burchagini teng ikkiga bo‘lib, qarshi tomonga qadar davom etuvchi kesma bissektrisa deyiladi.

Har bir uchburchakda uchta bissektrisa bor va ular bitta nuqtada kesishadi. Bu nuqta — ichki chizilgan aylana markazi (insentr): u uchburchakning uchala tomonidan bir xil masofada joylashgan.

Savol. Nega bissektrisalar kesishgan nuqta ichki aylana markazi bo‘ladi? Chunki bissektrisadagi har bir nuqta burchakning ikkala tomonidan teng uzoqlikda — demak uchala tomondan teng uzoqlikdagi nuqta faqat kesishuv nuqtasi bo‘la oladi.

§2. Bissektrisa xossasi

Bissektrisaning eng nafis xossasi — u qarshi tomonni qo‘shni tomonlarga proporsional bo‘laklaydi.

Qoida. $C$ uchidan tushirilgan bissektrisa $AB$ tomonni $D$ nuqtada shunday bo‘ladiki:

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}$$

Ya’ni bo‘laklar nisbati qo‘shni tomonlar nisbatiga teng.

Misol. $AC = 6$, $CB = 4$, $AB = 10$. Bissektrisa $AB$ ni qanday bo‘laklarga bo‘ladi?
Yechish. Nisbat $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$. Bo‘laklarni $3x$ va $2x$ deymiz:

$$3x + 2x = 10 \;\Rightarrow\; 5x = 10 \;\Rightarrow\; x = 2$$

Demak $AD = 3 \cdot 2 = 6$, $DB = 2 \cdot 2 = 4$.
Javob. $AD = 6$, $DB = 4$.

Misol. $AC = 8$, $CB = 12$, $AD = 6$. $DB$ ni toping.
Yechish. Xossadan foydalanamiz:

$$\frac{6}{DB} = \frac{8}{12} \;\Rightarrow\; DB = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$$

Javob. $DB = 9$.

§3. Qo‘shimcha xususiyatlar

Eslatma. Teng yonli uchburchakda uchidan tushirilgan bissektrisa bir vaqtning o‘zida balandlik ham, mediana ham bo‘ladi. Bu — simmetriyaning natijasi.

Misol. Uchburchak burchagi $80°$. Bissektrisa hosil qilgan burchaklarni toping.
Yechish. Bissektrisa burchakni teng ikkiga bo‘ladi:

$$\frac{80°}{2} = 40°$$

Javob. Har biri $40°$.

Misol. $AC = 5$, $CB = 15$, $AB = 16$. $AD$ ni toping.
Yechish. Nisbat $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$, bo‘laklar $x$ va $3x$:

$$x + 3x = 16 \;\Rightarrow\; 4x = 16 \;\Rightarrow\; x = 4$$

Javob. $AD = 4$.

§ Lug‘at

bissektrisa — bisector
burchak — angle
nisbat — ratio
proporsional — proportional
ichki chizilgan aylana — inscribed circle
markaz — center
simmetriya — symmetry
qo‘shni tomon — adjacent side