Trapetsiya va aylana

Ushbu darsda trapetsiya va aylana orasidagi bog‘lanish haqida so‘z yuritamiz. Trapetsiya — ikki tomoni parallel bo‘lgan to‘rtburchak. Qanday trapetsiyani aylanaga ichki chizib bo‘ladi va qanday trapetsiyaga aylana ichki chizish mumkin — shu ikki savolga javob beramiz.

§1. Aylanaga ichki chizilgan trapetsiya

Avval eslaymiz: to‘rtburchakni aylanaga ichki chizish uchun qarama-qarshi burchaklar yig‘indisi $180^\circ$ bo‘lishi kerak edi.

Savol. Trapetsiyaning yon tomoni bilan ikki asosi hosil qilgan burchaklar qanday bog‘langan?

Parallel asoslar tufayli bir yon tomondagi ikki burchak yig‘indisi $180^\circ$. Bu shartni aylanaga ichki chizilish sharti bilan solishtirsak, faqat teng yonli trapetsiya mos kelishini ko‘ramiz.

Qoida. Trapetsiyani aylanaga ichki chizish mumkin bo‘lishi uchun u teng yonli (yon tomonlari teng) bo‘lishi shart va yetarli.

Teng yonli trapetsiyada asosdagi burchaklar teng, qarama-qarshi burchaklar esa $180^\circ$ ni to‘ldiradi.

Misol. Teng yonli trapetsiyaning asosdagi burchagi $65^\circ$. Yuqori burchagini toping.

Yechish. Yon tomondagi ikki burchak yig‘indisi $180^\circ$:

Javob. $115^\circ$.

§2. Aylana ichki chizilgan (urinma) trapetsiya

Endi aylana trapetsiyaning to‘rt tomoniga tegib tursin. Pito teoremasini eslaymiz: $a+c=b+d$.

Qoida. Trapetsiyaga aylana ichki chizish mumkin bo‘lishi uchun asoslar yig‘indisi yon tomonlar yig‘indisiga teng bo‘lishi shart: $$ a + b = c + d, $$ bu yerda $a,b$ — asoslar, $c,d$ — yon tomonlar.

Eslatma. Teng yonli urinma trapetsiyada $c=d$, shuning uchun $a+b = 2c$, ya’ni yon tomon asoslar yig‘indisining yarmiga teng.

Misol. Urinma trapetsiyaning asoslari $a=10$ va $b=4$, yon tomonlari teng. Yon tomonini toping.

Yechish. Asoslar yig‘indisi yon tomonlar yig‘indisiga teng:

Javob. $c = 7$.

§3. Radius va balandlik

Aylana ichki chizilgan trapetsiyada aylana ikkala asosga ham tegadi, demak asoslar orasidagi masofa (balandlik) diametrga teng: $h = 2r$.

Qoida. Urinma trapetsiyaning balandligi $h = 2r$, radius esa $r = \dfrac{h}{2}$.

Misol. Urinma teng yonli trapetsiyaning asoslari $12$ va $4$, yon tomoni asoslar yig‘indisining yarmiga teng. Balandligini va ichki radiusini toping.

Yechish. Yon tomon $c = (12+4)/2 = 8$. Yuqori asosning proyeksiyasi pastki asosga: chetki bo‘lakcha $(12-4)/2 = 4$. Balandlikni Pifagor teoremasidan topamiz:

Radius:

Javob. $h = 4\sqrt3$, $r = 2\sqrt3$.

Misol. Urinma trapetsiyaning yuzasi $S=60$, radiusi $r=5$. O‘rta chizig‘ini toping.

Yechish. Trapetsiya yuzasi $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h = m\cdot h$, bu yerda $m$ — o‘rta chiziq, $h=2r=10$. Demak:

Javob. O‘rta chiziq $m = 6$.

§ Lug‘at

trapetsiya — trapezoid
asos — base
yon tomon — leg (lateral side)
teng yonli trapetsiya — isosceles trapezoid
o‘rta chiziq — midsegment
balandlik — height
urinma trapetsiya — tangential trapezoid