Uchburchak medianasi va uning xossalari

Ushbu darsda uchburchakning uchini qarshi tomon o‘rtasi bilan tutashtiruvchi kesma — mediana va uning muvozanatga oid ajoyib xossalari haqida so‘z yuritamiz.

§1. Mediana tushunchasi

Har bir tomonning o‘rta nuqtasi bor. Uni qarshi uch bilan tutashtirsak, mediana hosil bo‘ladi.

Ta’rif. Uchburchak uchini qarshi tomonning o‘rta nuqtasi bilan birlashtiruvchi kesma mediana deyiladi.

Har bir uchburchakda uchta mediana bor. Ular bitta nuqtada kesishadi — bu nuqta uchburchakning og‘irlik markazi (sentroid). Agar uchburchakni kartondan qirqib, shu nuqtadan ilsangiz, u muvozanatda turadi.

§2. Medianalar xossasi

Medianalarning kesishuv nuqtasi har bir medianani juda aniq nisbatda bo‘ladi.

Qoida. Uchta mediana bitta nuqtada kesishadi va bu nuqta har birini uchdan biriga bo‘ladi — uchdan ikki qismi uch tomonda:

$$\frac{CO}{OM} = \frac{2}{1}$$

Savol. Nega aynan $2:1$? Chunki og‘irlik markazi shakl massasini muvozanatlaydi — uzoq uchdan “tortiladi”, shuning uchun uchga yaqin qism ikki barobar uzun bo‘ladi.

Misol. Mediana uzunligi $CM = 12$ sm. Og‘irlik markazi uni qanday bo‘laklarga bo‘ladi?
Yechish. Nisbat $2:1$, jami $3$ qism. Bir qism:

$$\frac{12}{3} = 4 \text{ sm}$$

Uchdan boshigacha $2$ qism: $2 \cdot 4 = 8$ sm; o‘rtaga qadar $1$ qism: $4$ sm.
Javob. $CO = 8$ sm, $OM = 4$ sm.

Misol. Og‘irlik markazidan uch tomon $CO = 10$ sm. To‘liq mediana $CM$ ni toping.
Yechish. $CO$ — mediananing uchdan ikki qismi:

$$CM = \frac{3}{2} \cdot CO = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15$$

Javob. $CM = 15$ sm.

§3. Qo‘shimcha xossalar

Mediana uchburchakni yuzasi teng ikki qismga ajratadi, chunki ikkala kichik uchburchakning asoslari (tomonning yarmlari) va balandligi bir xil.

Eslatma. Teng yonli uchburchakda asosga tushirilgan mediana ayni paytda bissektrisa va balandlik ham bo‘ladi — simmetriya tufayli uchala kesma ustma-ust tushadi.

Misol. Tomoni $AB = 14$ sm. $M$ — uning o‘rtasi. $AM$ ni toping.
Yechish. Mediana tomonni teng ikkiga bo‘ladi:

$$AM = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Javob. $AM = 7$ sm.

Misol. Uchburchak yuzi $S = 24$ sm². Mediana uni ikki qismga bo‘ldi. Har bir qismning yuzini toping.
Yechish. Mediana yuzni teng bo‘ladi:

$$\frac{24}{2} = 12$$

Javob. Har biri $12$ sm².

§ Lug‘at

mediana — median
o‘rta nuqta — midpoint
og‘irlik markazi — centroid
kesishuv nuqtasi — intersection point
nisbat — ratio
muvozanat — balance
yuz — area
simmetriya — symmetry