Uchburchaklar o'xshashligi — nazariya, formulalar va misollar

Ushbu darsda uchburchaklar o‘xshashligi haqida so‘z yuritamiz. Ikki shakl bir xil ko‘rinishga ega, lekin turli o‘lchamda bo‘lishi mumkin — masalan, fotosuratni kattalashtirsak, undagi barcha uzunliklar bir xil marta ortadi, burchaklar esa o‘zgarmaydi. Aynan shu g‘oya o‘xshashlikning asosini tashkil etadi.

§1. O‘xshashlik tushunchasi

Ikki uchburchakni solishtirganda ikki narsaga qaraymiz: burchaklarga va tomonlarga.

Ta’rif. Agar bir uchburchakning burchaklari ikkinchisining burchaklariga mos ravishda teng bo‘lsa va mos tomonlari nisbatlari o‘zaro teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar o‘xshash deyiladi.

O‘xshashlikni $\sim$ belgisi bilan yozamiz: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Mos tomonlar nisbatining umumiy qiymati o‘xshashlik koeffitsiyenti deyiladi va $k$ bilan belgilanadi:

k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1}

§2. O‘xshashlik alomatlari

Uchburchaklar o‘xshashligini isbotlash uchun barcha burchak va tomonlarni tekshirish shart emas — uchta qulay alomat mavjud.

Qoida. Ikki burchak bo‘yicha: agar bir uchburchakning ikki burchagi ikkinchisining ikki burchagiga mos teng bo‘lsa, uchburchaklar o‘xshash bo‘ladi.

Qoida. Ikki tomon va ular orasidagi burchak bo‘yicha: agar ikki tomon nisbati teng va ular orasidagi burchaklar teng bo‘lsa, uchburchaklar o‘xshash.

Qoida. Uch tomon bo‘yicha: agar bir uchburchakning uchala tomoni ikkinchisining tomonlariga proporsional bo‘lsa, uchburchaklar o‘xshash.

Savol. Ikki teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchak har doim o‘xshash bo‘ladimi? Ha — chunki ularning barcha burchaklari ( $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ) doim bir xil.

§3. Masalalar

Misol. $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ , $AB = 6$ , $A_1B_1 = 9$ , $BC = 8$ . $B_1C_1$ ni toping.

Yechish. Avval o‘xshashlik koeffitsiyentini topamiz:

k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Endi $BC$ va $B_1C_1$ ham shu nisbatda bo‘ladi:

\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{2}{3} \;\Rightarrow\; B_1C_1 = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12

Javob. $B_1C_1 = 12$ .

Misol. Uchburchakning $AB=10$ tomoniga parallel kesma uni shunday kesadiki, $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{2}{3}$ . Kichik uchburchakning mos tomoni qancha?

Yechish. Parallel kesma o‘xshash uchburchak hosil qiladi, koeffitsiyent $k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}$ . Demak izlanayotgan tomon:

10 \cdot \frac{2}{5} = 4

Javob. $4$ .

Misol. O‘xshash ikki uchburchakning yuzalari $16$ va $25$ . Ularning tomonlari nisbatini toping.

Yechish. Yuzalar nisbati koeffitsiyent kvadratiga teng: $k^2=\dfrac{25}{16}$ . Demak:

k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}

Javob. Tomonlar nisbati $5:4$ .

Eslatma. O‘xshash figuralarda uzunliklar $k$ marta, yuzalar esa $k^2$ marta farq qiladi. Bu qoidani doim eslab qoling — imtihonlarda ko‘p uchraydi.

§ Lug‘at

o‘xshashlik — similarity
o‘xshashlik koeffitsiyenti — ratio of similarity
mos tomonlar — corresponding sides
proporsional — proportional
perimetr — perimeter

§1. O‘xshashlik tushunchasi

§2. O‘xshashlik alomatlari

§3. Masalalar

§ Lug‘at

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring