Koordinatalar sistemasi

Ushbu darsda koordinatalar sistemasi haqida so‘z yuritamiz. Koordinatalar — geometriya bilan algebrani bir-biriga bog‘laydigan ko‘prik. Ular yordamida har bir nuqtaga sonlar juftini mos qo‘yamiz va shakllar bilan tenglamalar tilida ishlaymiz.

§1. Dekart koordinatalar sistemasi

Tekislikda o‘zaro perpendikular ikki son o‘qini olamiz: gorizontal $Ox$ (abssissa o‘qi) va vertikal $Oy$ (ordinata o‘qi). Ular kesishgan nuqta $O$ — koordinatalar boshi.

Ta’rif. Tekislikning har bir $M$ nuqtasiga tartiblangan sonlar jufti $M(x;y)$ mos keladi: $x$ — abssissa, $y$ — ordinata. Bu sistema Dekart koordinatalar sistemasi deyiladi.

O‘qlar tekislikni to‘rt chorakka bo‘ladi: I chorakda $x>0, y>0$; II chorakda $x<0, y>0$; III chorakda $x<0, y<0$; IV chorakda $x>0, y<0$.

§2. Ikki nuqta orasidagi masofa

Ikki nuqta $A(x_1;y_1)$ va $B(x_2;y_2)$ berilgan bo‘lsin. Ular orasidagi masofani topish uchun to‘g‘ri burchakli uchburchak yasab, Pifagor teoremasini qo‘llaymiz.

Qoida. Masofa formulasi: $$ AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. $$

Misol. $A(1;2)$ va $B(4;6)$ nuqtalar orasidagi masofani toping.

Yechish.

Javob. $AB = 5$.

§3. O‘rta nuqta va kesmani bo‘lish

Qoida. $A(x_1;y_1)$ va $B(x_2;y_2)$ kesmaning o‘rtasi $M$ ning koordinatalari: $$ M!\left(\frac{x_1+x_2}{2};\ \frac{y_1+y_2}{2}\right). $$

O‘rta nuqta — bu ikki uchning “o‘rtacha qiymati”. Xuddi ikki sonning o‘rtachasini olgandek, koordinatalarni ham alohida-alohida o‘rtalaymiz.

Misol. $A(-2;3)$ va $B(6;-1)$ kesmaning o‘rtasini toping.

Yechish.

Javob. $M(2;1)$.

Eslatma. Kesmani $m:n$ nisbatda bo‘luvchi nuqta uchun umumiy formula: $$ C!\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n};\ \frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right). $$ O‘rta nuqta — bu $m:n=1:1$ xususiy holi.

Misol. $A(1;1)$ va $B(7;10)$ kesmani $A$ dan boshlab $1:2$ nisbatda bo‘luvchi nuqtani toping.

Yechish. $m=1$, $n=2$:

Javob. $C(3;4)$.

Misol. Uchburchak uchlari $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$. Uning medianalari kesishish nuqtasini (og‘irlik markazi) toping.

Yechish. Og‘irlik markazi uchlarning o‘rtachasi:

Javob. $G\!\left(2;\dfrac{8}{3}\right)$.

§ Lug‘at

koordinatalar sistemasi — coordinate system
abssissa — abscissa (x-coordinate)
ordinata — ordinate (y-coordinate)
koordinatalar boshi — origin
masofa formulasi — distance formula
o‘rta nuqta — midpoint
og‘irlik markazi — centroid