Vektorlar

Ushbu darsda vektorlar haqida so‘z yuritamiz. Vektor — bu faqat kattaligi emas, yo‘nalishi ham bo‘lgan miqdor. Kuch, tezlik, siljish — bularning barchasi vektorlardir. Vektorlar bilan qanday amal bajarishni va ularni koordinatalar tilida qanday yozishni o‘rganamiz.

§1. Vektor tushunchasi va koordinatalari

Ta’rif. Vektor — yo‘naltirilgan kesma. U boshi va oxiri bilan aniqlanadi; uzunligi (moduli) va yo‘nalishi bilan tavsiflanadi.

Agar vektor boshi $A(x_1;y_1)$, oxiri $B(x_2;y_2)$ bo‘lsa, uning koordinatalari oxiri minus boshi tarzida topiladi:

Qoida. Vektor uzunligi (moduli): $$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}, \qquad \vec a = (a_x; a_y). $$

§2. Vektorlar ustida amallar

Vektorlarni qo‘shish, ayirish va songa ko‘paytirish koordinatalar bo‘yicha alohida-alohida bajariladi.

Qoida. $\vec a=(a_x;a_y)$, $\vec b=(b_x;b_y)$ va son $k$ uchun: $$ \vec a + \vec b = (a_x+b_x;\ a_y+b_y), \quad k\vec a = (k a_x;\ k a_y). $$

Qo‘shishning geometrik ma’nosi — “uchburchak qoidasi”: bir vektorning oxiriga ikkinchisining boshini qo‘yamiz, yig‘indi esa birinchi boshdan oxirgi uchgacha bo‘lgan vektor.

Misol. $\vec a=(3;1)$, $\vec b=(-1;4)$. $\vec a+\vec b$ va $2\vec a$ ni toping.

Yechish.

Javob. $\vec a+\vec b=(2;5)$, $2\vec a=(6;2)$.

§3. Skalyar ko‘paytma

Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi — son (skalyar), u vektorlar orasidagi burchak haqida ma’lumot beradi.

Qoida. Skalyar ko‘paytma: $$ \vec a\cdot\vec b = a_x b_x + a_y b_y = |\vec a|,|\vec b|\cos\varphi, $$ bu yerda $\varphi$ — vektorlar orasidagi burchak.

Eslatma. Agar $\vec a\cdot\vec b = 0$ bo‘lsa (va vektorlar nolga teng bo‘lmasa), vektorlar o‘zaro perpendikular. Bu — perpendikularlikni tekshirishning eng oson yo‘li.

Misol. $\vec a=(2;3)$, $\vec b=(4;-1)$. Skalyar ko‘paytmani toping.

Yechish.

Javob. $5$.

Misol. $\vec a=(1;2)$ va $\vec b=(4;-2)$ vektorlar perpendikularmi?

Yechish. Skalyar ko‘paytmani hisoblaymiz:

Ko‘paytma nolga teng bo‘lgani uchun vektorlar perpendikular.

Javob. Ha, perpendikular.

Misol. $\vec a=(3;4)$ va $\vec b=(1;0)$ orasidagi burchak kosinusini toping.

Yechish. $|\vec a|=\sqrt{9+16}=5$, $|\vec b|=1$, $\vec a\cdot\vec b=3\cdot1+4\cdot0=3$. Demak:

Javob. $\cos\varphi = 0{,}6$.

§ Lug‘at

vektor — vector
modul (uzunlik) — magnitude (length)
kollinear — collinear
skalyar ko‘paytma — dot (scalar) product
uchburchak qoidasi — triangle rule
perpendikular — perpendicular