Cheva, Menelay, Karno va Styuart teoremalari

Ushbu darsda Cheva, Menelay, Karno va Styuart teoremalari haqida so‘z yuritamiz. Bu teoremalar uchburchak ichidagi chiziqlar, nuqtalar va kesmalar orasidagi nozik bog‘lanishlarni ochib beradi. Ular olimpiada masalalarida ham juda qadrli qurollar hisoblanadi.

§1. Cheva teoremasi

Uchburchakning uchidan qarama-qarshi tomonga chizilgan kesma cheviana deyiladi. Uchta cheviana qachon bitta nuqtada kesishadi degan savolga Cheva teoremasi javob beradi.

Ta’rif. $ABC$ uchburchakda $AD$, $BE$, $CF$ chevianalar mos ravishda $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarda $D$, $E$, $F$ nuqtalarga tushirilgan.

Qoida. Cheva teoremasi: $AD$, $BE$, $CF$ chevianalar bitta nuqtada kesishishi uchun $$ \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = 1 $$ bo‘lishi shart va yetarli.

Misol. Uchburchakda $\dfrac{BD}{DC}=2$, $\dfrac{CE}{EA}=3$. Chevianalar bitta nuqtada kesishishi uchun $\dfrac{AF}{FB}$ qanday bo‘lishi kerak?

Yechish. Cheva shartidan:

Javob. $\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{1}{6}$.

§2. Menelay teoremasi

Cheva teoremasi kesishuvchi kesmalar haqida bo‘lsa, Menelay teoremasi bir to‘g‘ri chiziq uchburchak tomonlarini (yoki ularning davomini) kesib o‘tgan holni tavsiflaydi.

Qoida. Menelay teoremasi: $D$, $E$, $F$ nuqtalar (tomonlar yoki ularning davomida) bitta to‘g‘ri chiziqda yotishi uchun $$ \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = 1 $$ (kesmalar uzunliklari, ya’ni musbat qiymatlar bilan). Bunda kesuvchi chiziq tomonlardan toq sonini tashqi tomondan kesadi.

Eslatma. Cheva va Menelay formulalarining ko‘rinishi bir xil, lekin ma’nosi butunlay boshqacha: Cheva — kesmalar bir nuqtada kesishadi, Menelay — nuqtalar bir chiziqda yotadi. Farqni yodda tuting.

Misol. Bir to‘g‘ri chiziq $BC$ ni $D$ da ($\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3}{2}$), $CA$ ni $E$ da ($\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{4}{3}$) kesadi. $\dfrac{AF}{FB}$ ni toping.

Yechish. Menelay munosabatidan:

Javob. $\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{1}{2}$.

§3. Karno va Styuart teoremalari

Karno teoremasi tashqi aylana markazidan tomonlargacha bo‘lgan masofalarni radiuslar bilan bog‘laydi.

Qoida. Karno teoremasi: tashqi aylana markazidan uchburchak tomonlarigacha bo‘lgan (ishorali) masofalar yig‘indisi $$ d_a + d_b + d_c = R + r, $$ bu yerda $R$ — tashqi, $r$ — ichki radius.

Misol. $3,4,5$ uchburchakda ($R=2{,}5$, $r=1$) masofalar yig‘indisini toping.

Yechish. Karno teoremasidan:

Bevosita tekshirish: to‘g‘ri burchakli uchburchakda markaz gipotenuza o‘rtasida, katetlargacha masofalar $2$ va $1{,}5$, gipotenuzagacha $0$; yig‘indi $2+1{,}5+0=3{,}5$ — mos keldi.

Javob. $3{,}5$.

Styuart teoremasi cheviana uzunligini tomonlar va bo‘laklar orqali beradi.

Qoida. Styuart teoremasi: $A$ dan $BC$ ga chizilgan $AD=d$ cheviana $BC=a$ ni $BD=m$, $DC=n$ bo‘laklarga ajratsa ($AB=c$, $AC=b$): $$ b^2 m + c^2 n = a,(d^2 + mn). $$

Misol. Uchburchakda $AB=c=3$, $AC=b=5$, $BC=a=4$; $D$ nuqta $BD=m=1$, $DC=n=3$. Cheviana $AD$ ni toping.

Yechish. Styuart teoremasiga qo‘yamiz:

Demak $d=\sqrt{10}$.

Javob. $AD = \sqrt{10}$.

Misol. Styuart teoremasidan mediana uzunligi formulasini keltirib chiqaring.

Yechish. Mediana uchun $m=n=\dfrac{a}{2}$. Qo‘yamiz:

$a$ ga qisqartirib:

Javob. $d = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$.

§ Lug‘at

cheviana — cevian
Cheva teoremasi — Ceva’s theorem
Menelay teoremasi — Menelaus’s theorem
Karno teoremasi — Carnot’s theorem
Styuart teoremasi — Stewart’s theorem
mediana — median