To'rtburchak va aylana

Ushbu darsda to‘rtburchak va aylana orasidagi bog‘lanish haqida so‘z yuritamiz. Har qanday to‘rtburchakni aylanaga ichki chizib bo‘lmaydi, xuddi shunday har qanday to‘rtburchakka aylana ichki chizib bo‘lmaydi. Qaysi shartlar bajarilganda buni qilish mumkinligini o‘rganamiz.

§1. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchak

Agar to‘rtburchakning to‘rt uchi ham bitta aylanada yotsa, u aylanaga ichki chizilgan (yoki “sikllik”) to‘rtburchak deyiladi.

Ta’rif. To‘rt uchi bitta aylanada yotgan to‘rtburchak aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchak deyiladi.

Bunday to‘rtburchakning eng muhim belgisi — qarama-qarshi burchaklar yig‘indisi bilan bog‘liq.

Qoida. To‘rtburchakni aylanaga ichki chizib bo‘lishi uchun uning qarama-qarshi burchaklari yig‘indisi $180^\circ$ ga teng bo‘lishi shart va yetarli: $$ \angle A + \angle C = 180^\circ, \qquad \angle B + \angle D = 180^\circ. $$

Savol. Nima uchun bu shart aynan qarama-qarshi burchaklarga tegishli, qo‘shni emas?

Chunki ichki chizilgan burchak o‘zi tayangan yoyning yarmiga teng. Qarama-qarshi ikki burchak birgalikda butun aylanani (ya’ni $360^\circ$ yoy) qamrab oladi, uning yarmi esa $180^\circ$ bo‘ladi.

Misol. Ichki chizilgan to‘rtburchakda $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 95^\circ$. Qolgan burchaklarni toping.

Yechish. Qarama-qarshi burchaklar yig‘indisi $180^\circ$:

Javob. $\angle C = 110^\circ$, $\angle D = 85^\circ$.

§2. Aylana tashqi chizilgan (urinma) to‘rtburchak

Endi teskari holat: aylana to‘rtburchakning ichida bo‘lib, to‘rt tomonga ham tegib tursin.

Ta’rif. Barcha tomonlariga bitta aylana ichkaridan tegib turgan to‘rtburchak urinma to‘rtburchak deyiladi.

Qoida. Pito teoremasi: to‘rtburchakka aylana ichki chizib bo‘lishi uchun qarama-qarshi tomonlar yig‘indilari teng bo‘lishi shart: $$ a + c = b + d. $$

Bu ham tabiiy: bir uchdan chiqqan ikki urinma kesma teng bo‘lgani uchun tomonlarni bo‘lib chiqsak, ikki tomon yig‘indisi ayni o‘sha to‘rt urinma kesma yig‘indisiga teng bo‘lib qoladi.

Misol. Urinma to‘rtburchakning uch tomoni $a=8$, $b=5$, $c=7$. To‘rtinchi tomon $d$ ni toping.

Yechish. Pito teoremasidan $a+c = b+d$:

Javob. $d = 10$.

Eslatma. Ikki shartni aralashtirib yubormang: ichki chizish uchun burchaklar yig‘indisi ($\angle A+\angle C=180^\circ$), tashqi urinma bo‘lish uchun esa tomonlar yig‘indisi ($a+c=b+d$) tekshiriladi.

§3. Ptolemey teoremasi

Ichki chizilgan to‘rtburchak uchun diagonallar va tomonlar orasida go‘zal bog‘lanish bor.

Qoida. Ptolemey teoremasi: aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakda diagonallar ko‘paytmasi qarama-qarshi tomonlar ko‘paytmalari yig‘indisiga teng: $$ AC \cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD. $$

Misol. Ichki chizilgan to‘rtburchakda $AB=CD=5$, $BC=AD=6$, diagonallar teng va $AC=BD=d$. $d$ ni toping.

Yechish. Ptolemey teoremasidan:

Demak $d^2 = 61$, ya’ni $d = \sqrt{61}$.

Javob. $d = \sqrt{61}$.

§ Lug‘at

aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchak — cyclic quadrilateral
urinma to‘rtburchak — tangential quadrilateral
qarama-qarshi burchak — opposite angle
Pito teoremasi — Pitot theorem
Ptolemey teoremasi — Ptolemy’s theorem
diagonal — diagonal