Sinuslar va kosinuslar teoremasi

Ushbu darsda ixtiyoriy (nafaqat to‘g‘ri burchakli) uchburchakning tomonlari va burchaklarini bog‘lovchi ikki kuchli qurol — sinuslar va kosinuslar teoremasi haqida so‘z yuritamiz.

§1. Sinuslar teoremasi

Pifagor faqat to‘g‘ri burchakli uchburchakda ishlaydi. Ixtiyoriy uchburchak uchun boshqa qonun kerak.

Qoida. Uchburchakning har bir tomoni qarshisidagi burchak sinusiga proporsional:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Ya’ni tomon qanchalik uzun bo‘lsa, uning qarshisidagi burchak shunchalik katta. Bu juda mantiqiy: keng ochilgan burchak uzun tomonni “ushlab turadi”.

Misol. Uchburchakda $a = 8$ sm, $\angle A = 30°$, $\angle B = 45°$. $b$ tomonni toping.
Yechish. Sinuslar teoremasidan $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$:

$$b = \frac{8 \cdot \sin 45°}{\sin 30°} = \frac{8 \cdot 0{,}707}{0{,}5} \approx \frac{5{,}66}{0{,}5} \approx 11{,}3$$

Javob. $b \approx 11{,}3$ sm.

§2. Kosinuslar teoremasi

Agar ikki tomon va ular orasidagi burchak berilsa, sinuslar teoremasi yetmaydi. Bu yerda kosinuslar teoremasi keladi — u Pifagorning “kattalashtirilgan” shakli.

Qoida. $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $$
Agar $C = 90°$ bo‘lsa, $\cos 90° = 0$ va formula Pifagor teoremasiga aylanadi.

Savol. Nima uchun $-2ab\cos C$ qo‘shildi? Chunki burchak $90°$ dan farq qilsa, katetlar “bir-biriga qarab og‘adi” va bu qo‘shimcha hadni keltirib chiqaradi.

Misol. $a = 5$, $b = 7$, ular orasidagi burchak $C = 60°$. $c$ tomonni toping ($\cos 60° = 0{,}5$).
Yechish. Formulaga qiymatlarni qo‘yamiz:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0{,}5 = 25 + 49 - 35 = 39$$

$$c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$

Javob. $c \approx 6{,}24$.

Misol. Tomonlari $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$. $\cos C$ ni toping.
Yechish. Formulani $\cos C$ ga nisbatan yechamiz:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{5}{40} = 0{,}125$$

Javob. $\cos C = 0{,}125$.

§3. Qaysi teoremani tanlash

Eslatma. Qoida oddiy: tomon va qarshi burchak juftligi bo‘lsa — sinuslar teoremasi; ikki tomon va ular orasidagi burchak yoki uch tomon berilsa — kosinuslar teoremasi.

Misol. $b = 10$, $\angle B = 90°$, $\angle A = 30°$. $a$ ni toping.
Yechish. Sinuslar teoremasi ($\sin 90° = 1$):

$$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{10 \cdot 0{,}5}{1} = 5$$

Javob. $a = 5$.

§ Lug‘at

sinuslar teoremasi — law of sines
kosinuslar teoremasi — law of cosines
sinus — sine
kosinus — cosine
proporsional — proportional
qarshi burchak — opposite angle
ixtiyoriy — arbitrary
had — term