Uchburchakka ichki chizilgan aylana

Ushbu darsda uchburchakka ichki chizilgan aylana haqida so‘z yuritamiz. Ya’ni shunday aylana topamizki, u uchburchakning har uch tomoniga ichkaridan tegib tursin. Bunday aylananing markazi qayerda yotadi, radiusi nimaga teng — hammasini bosqichma-bosqich ochib beramiz.

§1. Ichki aylana markazi — insentr

Uchburchakning ichki chizilgan aylanasi uch tomonga ham tegishi kerak. Aylana markazidan tomonlarga tushirilgan masofalar (perpendikularlar) esa radiusga teng bo‘ladi. Demak markaz har uch tomondan bir xil uzoqlikda turadi.

Savol. Bir burchakning ikki tomonidan bir xil uzoqlikdagi nuqtalar to‘plami qanday chiziqda yotadi?

Javob — burchak bissektrisasida. Mana shu yerdan asosiy fikr kelib chiqadi.

Ta’rif. Uchburchak burchaklari bissektrisalari bitta nuqtada kesishadi. Bu nuqta insentr deb ataladi va u ichki chizilgan aylananing markazi bo‘ladi.

Insentr har doim uchburchakning ichida yotadi — bu ichki aylananing eng muhim xossasi.

§2. Radiusni topish formulasi

Endi radiusni yuza orqali ifodalaymiz. Insentrni uchta uchga tutashtirsak, uchburchak uchta kichik uchburchakka bo‘linadi. Har birining balandligi $r$ ga, asosi esa mos tomonga teng.

Qoida. Ichki chizilgan aylana radiusi $$ r = \frac{S}{p}, \qquad p = \frac{a+b+c}{2} $$ bu yerda $S$ — uchburchak yuzasi, $p$ — yarim perimetr.

Bu formula juda tabiiy: uchburchak yuzasi uchta kichik uchburchak yuzalari yig‘indisiga teng, ya’ni $S = \tfrac{1}{2}ar + \tfrac{1}{2}br + \tfrac{1}{2}cr = pr$. Bundan $r = S/p$.

Eslatma. Formulani yodlashdan ko‘ra, uni $S = p\cdot r$ ko‘rinishida esda tuting — “yuza = yarim perimetr karra radius”. Shunda hech qachon adashmaysiz.

Misol. Tomonlari $3$, $4$, $5$ bo‘lgan uchburchakning ichki aylanasi radiusini toping.

Yechish. Bu to‘g‘ri burchakli uchburchak, chunki $3^2+4^2=5^2$. Yuzasi:

Yarim perimetr:

Endi radius:

Javob. $r = 1$.

Misol. Tomoni $a$ bo‘lgan teng tomonli uchburchakning ichki aylanasi radiusini toping.

Yechish. Teng tomonli uchburchak yuzasi $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$, yarim perimetri $p = \dfrac{3a}{2}$. Demak:

Javob. $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.

Misol. Yuzasi $S=84$, perimetri $P=42$ bo‘lgan uchburchakning ichki radiusi qancha?

Yechish. Yarim perimetr $p = 42/2 = 21$, shuning uchun

Javob. $r = 4$.

§3. Tomon urinish nuqtalari

Aylana tomonlarga tegadigan nuqtalar ham qiziq xossaga ega. Bir uchdan chiqqan ikki urinma kesma teng bo‘ladi. Shu sababli uchlardan chiqqan urinma kesmalar $p-a$, $p-b$, $p-c$ ga teng bo‘ladi.

Misol. Tomonlari $5,6,7$ bo‘lgan uchburchakda uchlardan chiqqan urinma kesmalarni toping.

Yechish. $p = (5+6+7)/2 = 9$. Uchlardan chiqqan urinmalar:

Tekshiramiz: $a=5$ tomon $3+2=5$ ga bo‘linadi — to‘g‘ri.

Javob. $4$, $3$ va $2$.

§ Lug‘at

ichki chizilgan aylana — inscribed circle (incircle)
insentr — incenter
radius — radius
bissektrisa — angle bisector
yarim perimetr — semiperimeter
urinma kesma — tangent segment
yuza — area