Uchburchakka tashqi chizilgan aylana

Ushbu darsda uchburchakka tashqi chizilgan aylana haqida so‘z yuritamiz. Bu — uchburchakning har uch uchidan o‘tadigan aylana. Uni ba’zan “o‘ralgan aylana” yoki “sirtdagi aylana” deb ham atashadi. Markazi qayerda ekanini va radiusini qanday topishni ko‘rib chiqamiz.

§1. Tashqi aylana markazi — sirkumsentr

Tashqi aylana uch uchdan ham o‘tishi kerak, ya’ni markaz $A$, $B$, $C$ nuqtalarning uchalasidan bir xil uzoqlikda turadi.

Savol. Ikki nuqtadan bir xil uzoqlikdagi nuqtalar to‘plami qanday chiziq?

Javob — kesmaning o‘rta perpendikulari. Har bir tomonning o‘rta perpendikularini chizsak, ular bir nuqtada kesishadi.

Ta’rif. Uchburchak tomonlarining o‘rta perpendikularlari bitta nuqtada kesishadi. Bu nuqta sirkumsentr deb ataladi va tashqi chizilgan aylananing markazidir.

O‘tkir burchakli uchburchakda markaz ichida, to‘g‘ri burchaklida gipotenuza o‘rtasida, o‘tmas burchaklida esa uchburchakdan tashqarida yotadi.

§2. Radius formulasi va sinuslar teoremasi

Tashqi aylana radiusi $R$ ni topishning ikki qulay yo‘li bor.

Qoida. Sinuslar teoremasi: $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R. $$

Qoida. Yuza orqali: $$ R = \frac{abc}{4S}, $$ bu yerda $a,b,c$ — tomonlar, $S$ — uchburchak yuzasi.

Eslatma. To‘g‘ri burchakli uchburchakda tashqi aylana markazi gipotenuza o‘rtasida yotadi, shuning uchun $R$ gipotenuzaning yarmiga teng: $R=\tfrac{c}{2}$.

Misol. Tomonlari $3,4,5$ bo‘lgan uchburchak uchun $R$ ni toping.

Yechish. Yuzasi $S=\tfrac12\cdot3\cdot4=6$. Formuladan:

Tekshiramiz: bu to‘g‘ri burchakli uchburchak, gipotenuza $5$, uning yarmi $2{,}5$ — mos keldi.

Javob. $R = 2{,}5$.

Misol. Uchburchakda $a=6$ va uning qarshisidagi burchak $A=30^\circ$. Tashqi radiusni toping.

Yechish. Sinuslar teoremasidan:

shuning uchun $R = 6$.

Javob. $R = 6$.

Misol. Tomoni $a$ bo‘lgan teng tomonli uchburchakning tashqi radiusini toping.

Yechish. Bunda barcha burchaklar $60^\circ$. Sinuslar teoremasidan:

Demak $R = \dfrac{a}{\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$.

Javob. $R = \dfrac{a\sqrt3}{3}$.

§3. Ichki va tashqi radius bog‘lanishi

Ichki radius $r$ va tashqi radius $R$ orasidagi mashhur bog‘lanish — Eyler tengsizligi: $R \ge 2r$, tenglik faqat teng tomonli uchburchakda o‘rinli.

Misol. $3,4,5$ uchburchakda $R \ge 2r$ ni tekshiring.

Yechish. Oldingi darslardan $r=1$, bu darsdan $R=2{,}5$. Demak $2r=2$ va $R=2{,}5 \ge 2$ — tengsizlik bajarildi.

Javob. $R=2{,}5 \ge 2r=2$, to‘g‘ri.

§ Lug‘at

tashqi chizilgan aylana — circumscribed circle (circumcircle)
sirkumsentr — circumcenter
o‘rta perpendikular — perpendicular bisector
sinuslar teoremasi — law of sines
gipotenuza — hypotenuse
tashqi radius — circumradius