To'g'ri chiziq va aylana tenglamasi

Ushbu darsda to‘g‘ri chiziq va aylana tenglamasi haqida so‘z yuritamiz. Koordinatalar sistemasida har bir chiziqni tenglama bilan ifodalash mumkin. Endi geometrik shakllarni algebraik tenglamalar tilida yozib, ular ustida hisob-kitob qilishni o‘rganamiz.

§1. To‘g‘ri chiziq tenglamasi

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqni bir necha ko‘rinishda yozish mumkin. Eng ko‘p ishlatiladigani — burchak koeffitsiyentli ko‘rinish.

Ta’rif. $y = kx + b$ — to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi. Bunda $k$ — burchak koeffitsiyenti (chiziqning qiyaligi), $b$ — $Oy$ o‘qidagi kesma.

Qoida. Umumiy ko‘rinish: $$ Ax + By + C = 0, $$ bu yerda $A,B$ bir vaqtda nolga teng emas. Burchak koeffitsiyenti $k = -\dfrac{A}{B}$.

Qoida. Ikki nuqta $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ orqali o‘tuvchi chiziqning burchak koeffitsiyenti: $$ k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. $$

Misol. $A(1;2)$ va $B(3;8)$ nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yechish. Burchak koeffitsiyenti:

Endi $y=3x+b$ ga $A(1;2)$ ni qo‘yamiz:

Javob. $y = 3x - 1$.

Eslatma. Ikki to‘g‘ri chiziq parallel bo‘lsa, ularning burchak koeffitsiyentlari teng: $k_1=k_2$. Perpendikular bo‘lsa, ko‘paytmasi $-1$ ga teng: $k_1\cdot k_2 = -1$.

§2. Aylana tenglamasi

Aylana — markazdan bir xil uzoqlikdagi nuqtalar to‘plami. Masofa formulasidan foydalanib, uning tenglamasini keltirib chiqaramiz.

Qoida. Markazi $O(a;b)$, radiusi $R$ bo‘lgan aylana tenglamasi: $$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2. $$ Markaz koordinatalar boshida bo‘lsa: $x^2+y^2=R^2$.

Misol. Markazi $O(2;-3)$, radiusi $R=5$ bo‘lgan aylana tenglamasini yozing.

Yechish. Formulaga qo‘yamiz:

Javob. $(x-2)^2+(y+3)^2=25$.

Misol. $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ tenglama qanday aylanani ifodalaydi?

Yechish. To‘liq kvadratga keltiramiz:

Demak markaz $O(3;-2)$, radius $R=\sqrt{25}=5$.

Javob. Markazi $(3;-2)$, radiusi $5$.

§3. To‘g‘ri chiziq va aylananing kesishishi

Nuqtadan chiziqqacha masofani markazgacha masofa bilan taqqoslab, to‘g‘ri chiziq aylanani nechta nuqtada kesishini aniqlaymiz.

Qoida. Agar markazdan chiziqqacha masofa $d$ bo‘lsa: $d<R$ — ikki nuqtada kesishadi; $d=R$ — urinadi; $d>R$ — umumiy nuqta yo‘q.

Misol. $x^2+y^2=25$ aylana va $x=3$ to‘g‘ri chiziq necha nuqtada kesishadi?

Yechish. $x=3$ ni tenglamaga qo‘yamiz:

Ikkita yechim bor: $(3;4)$ va $(3;-4)$.

Javob. Ikki nuqtada: $(3;4)$ va $(3;-4)$.

§ Lug‘at

to‘g‘ri chiziq tenglamasi — equation of a line
burchak koeffitsiyenti — slope
umumiy tenglama — general equation
aylana tenglamasi — equation of a circle
markaz — center
radius — radius
urinma — tangent