To'g'ri burchakli uchburchak

Ushbu darsda geometriyaning eng mashhur uchburchagi — to‘g‘ri burchakli uchburchak va uning bosh qonuni Pifagor teoremasi haqida so‘z yuritamiz.

§1. Asosiy tushunchalar

To‘g‘ri burchakli uchburchakda bitta burchak aynan $90°$. Bu burchak qarshisidagi eng uzun tomon — gipotenuza, qolgan ikkisi — katetlar.

Ta’rif. To‘g‘ri burchak qarshisidagi tomon gipotenuza, to‘g‘ri burchakni hosil qiluvchi ikki tomon katetlar deyiladi.

§2. Pifagor teoremasi

Bu teorema minglab yildan beri quruvchilarga, dengizchilarga xizmat qiladi.

Qoida. To‘g‘ri burchakli uchburchakda katetlar kvadratlari yig‘indisi gipotenuza kvadratiga teng:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Savol. Nega bu shunchalik foydali? Chunki agar ikki tomonni bilsak, uchinchisini o‘lchamasdan hisoblab topamiz — bu qurilishda va navigatsiyada bebaho.

Misol. Katetlar $a = 3$ sm va $b = 4$ sm. Gipotenuzani toping.
Yechish. Pifagor teoremasini qo‘llaymiz:

$$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \;\Rightarrow\; c = \sqrt{25} = 5$$

Javob. $c = 5$ sm.

Misol. Gipotenuza $c = 13$ sm, bir katet $a = 5$ sm. Ikkinchi katetni toping.
Yechish. Formulani $b$ ga nisbatan yechamiz:

$$b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \;\Rightarrow\; b = 12$$

Javob. $b = 12$ sm.

§3. Katetlar va burchaklar

To‘g‘ri burchakli uchburchakda o‘tkir burchaklar yig‘indisi $90°$ ga teng, chunki uchta burchak $180°$, biri esa $90°$.

Eslatma. $3\text{–}4\text{–}5$, $5\text{–}12\text{–}13$, $8\text{–}15\text{–}17$ — bular “Pifagor uchliklari”, ya’ni butun sonli tomonlar. Ularni yodda tutsangiz, ko‘p masalani og‘zaki yechasiz.

Misol. To‘g‘ri burchakli uchburchakning bir o‘tkir burchagi $35°$. Ikkinchisini toping.
Yechish. O‘tkir burchaklar yig‘indisi $90°$:

$$90° - 35° = 55°$$

Javob. $55°$.

Misol. Katetlari $6$ sm va $8$ sm bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning perimetrini toping.
Yechish. Avval gipotenuzani topamiz, so‘ng barcha tomonlarni qo‘shamiz:

$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$$

$$P = 6 + 8 + 10 = 24$$

Javob. $P = 24$ sm.

§ Lug‘at

to‘g‘ri burchakli uchburchak — right triangle
gipotenuza — hypotenuse
katet — leg (cathetus)
Pifagor teoremasi — Pythagorean theorem
kvadrat — square
kvadrat ildiz — square root
o‘tkir burchak — acute angle
perimetr — perimeter