Geometriya

Vatar, urinma va kesuvchining xossalari

2 daqiqa o'qish · 10 mashq

Ushbu darsda vatar, urinma va kesuvchining xossalari haqida so‘z yuritamiz. Aylana bilan to‘g‘ri chiziq turlicha munosabatda bo‘ladi: chiziq aylanani ikki nuqtada kesishi, bir nuqtada tegib o‘tishi yoki umuman kesishmasligi mumkin. Har bir holatning o‘ziga xos go‘zal qonuniyatlari bor.

§1. Asosiy tushunchalar

Ta’rif. Aylananing ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma vatar, shu ikki nuqtadan cheksiz o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq kesuvchi, aylana bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega to‘g‘ri chiziq urinma deyiladi.

O urinma

§2. Urinma xossasi

Qoida. Urinma tegish nuqtasiga o‘tkazilgan radiusga perpendikulyar bo‘ladi.

Qoida. Aylananing tashqi bir nuqtasidan o‘tkazilgan ikkita urinma kesmasi o‘zaro teng bo‘ladi.

Savol. Nega tashqi nuqtadan ikki urinma teng? Chunki hosil bo‘lgan ikki to‘g‘ri burchakli uchburchak umumiy gipotenuzaga va teng radiuslarga ega — ular tengdir.

§3. Kesishuvchi vatarlar va kesuvchilar

Qoida. Ikki vatar MM nuqtada kesishsa, bo‘laklari ko‘paytmalari teng:

MA⋅MB=MC⋅MDMA \cdot MB = MC \cdot MD

Qoida. Tashqi nuqtadan o‘tkazilgan urinma tt va kesuvchi uchun:

t2=MA⋅MBt^2 = MA \cdot MB

bu yerda MAMA — yaqin bo‘lak, MBMB — to‘liq kesuvchi (uzoq kesishish nuqtasigacha).

§4. Masalalar

Misol. Ikki vatar bir nuqtada kesishadi. Birining bo‘laklari 44 va 66, ikkinchisining bir bo‘lagi 33. Ikkinchi bo‘lakni toping.

Yechish. Bo‘laklar ko‘paytmasi teng:

4⋅6=3⋅x  ⇒  24=3x  ⇒  x=84 \cdot 6 = 3 \cdot x \;\Rightarrow\; 24 = 3x \;\Rightarrow\; x = 8

Javob. 88.

Misol. Tashqi nuqtadan urinma t=6t = 6 o‘tkazilgan. Shu nuqtadan o‘tuvchi kesuvchining yaqin bo‘lagi 44. To‘liq kesuvchini toping.

Yechish. t2=MA⋅MBt^2 = MA \cdot MB formulasidan:

62=4⋅MB  ⇒  36=4⋅MB  ⇒  MB=96^2 = 4 \cdot MB \;\Rightarrow\; 36 = 4 \cdot MB \;\Rightarrow\; MB = 9

Javob. MB=9MB = 9.

Misol. Radiusi r=8r = 8 bo‘lgan aylanaga tashqi MM nuqtadan urinma o‘tkazilgan, OM=17OM = 17. Urinma uzunligini toping.

Yechish. Urinma radiusga perpendikulyar, shuning uchun OMTOMT to‘g‘ri burchakli uchburchak. Pifagor teoremasi bilan:

t=OM2−r2=172−82=289−64=225=15t = \sqrt{OM^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15

Javob. t=15t = 15.

Eslatma. Urinma masalalarida deyarli har doim "radius urinmaga perpendikulyar" xossasidan foydalaniladi — bu Pifagor teoremasini qo‘llash imkonini beradi. Tegish nuqtasini ko‘rsangiz, darhol radiusni chizing.

§ Lug‘at

vatar — chord
urinma — tangent
kesuvchi — secant
tegish nuqtasi — point of tangency
perpendikulyar — perpendicular
bo‘lak — segment

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring

10 ta mashq savoli tayyor. Har bir savoldan keyin batafsil yechim ko'rsatiladi va natijangiz saqlanadi.

Mashqni boshlash