Parallelogramm va uning xossalari

Ushbu darsda parallelogramm va uning xossalari haqida so‘z yuritamiz. Bu to‘rtburchaklarning eng muhim vakili — undan to‘g‘ri to‘rtburchak, romb va kvadrat ham kelib chiqadi. Uning tomonlari juft-juft bo‘lib bir yo‘nalishda yotadi, xuddi temir yo‘l relslari kabi.

§1. Ta’rif va ko‘rinishi

Ta’rif. Qarama-qarshi tomonlari juft-juft parallel bo‘lgan to‘rtburchak parallelogramm deyiladi.

§2. Asosiy xossalari

Parallelogrammning to‘rtta muhim xossasi bor. Ular masalalarni yechishda kalit vazifasini bajaradi.

Qoida. Parallelogrammda:

1. Qarama-qarshi tomonlar teng: $AB = CD$, $BC = AD$.
2. Qarama-qarshi burchaklar teng: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
3. Qo‘shni burchaklar yig‘indisi $180^\circ$.
4. Diagonallar kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi: $AO = OC$, $BO = OD$.

Savol. Nega qo‘shni burchaklar yig‘indisi doim $180^\circ$? Chunki tomonlar parallel, kesuvchi bilan hosil bo‘lgan ichki bir tomonli burchaklar yig‘indisi $180^\circ$ ga teng bo‘ladi.

§3. Parallelogramm alomatlari

To‘rtburchak parallelogramm ekanini quyidagilardan biri bilan aniqlash mumkin:

Qoida. To‘rtburchak parallelogramm bo‘ladi, agar:

• qarama-qarshi tomonlari juft-juft teng bo‘lsa, yoki
• ikkita tomoni parallel va teng bo‘lsa, yoki
• diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linsa.

§4. Masalalar

Misol. Parallelogrammning bir burchagi $70^\circ$. Qolgan uch burchagini toping.

Yechish. Qarama-qarshi burchak ham $70^\circ$. Qo‘shni burchak:

Demak burchaklar: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

Javob. $70^\circ,\,110^\circ,\,70^\circ,\,110^\circ$.

Misol. Parallelogramm perimetri $48$, bir tomoni $10$. Boshqa tomonini toping.

Yechish. Perimetr $P = 2(a+b)$:

Javob. $14$.

Misol. Parallelogrammning diagonallari $O$ nuqtada kesishadi. $AC = 16$, $BD = 10$ bo‘lsa, $AO$ va $BO$ ni toping.

Yechish. Diagonallar kesishish nuqtasida teng bo‘linadi:

Javob. $AO = 8$, $BO = 5$.

Eslatma. Parallelogrammning yuzi $S = a \cdot h$ formulasi bilan topiladi, bu yerda $h$ — $a$ tomonga tushirilgan balandlik. Diagonalni balandlik bilan aralashtirmang.

§ Lug‘at

parallelogramm — parallelogram
qarama-qarshi tomon — opposite side
qo‘shni burchak — adjacent angle
diagonal — diagonal
balandlik — height
alomat — criterion