Uchburchak tengsizligi

Ushbu darsda uchburchakning tomonlari o‘rtasidagi eng tabiiy qonun — uchburchak tengsizligi haqida so‘z yuritamiz. U “eng qisqa yo‘l — to‘g‘ri yo‘l” degan oddiy haqiqatga tayanadi.

§1. Tengsizlikning mohiyati

Tasavvur qiling: $A$ nuqtadan $B$ ga borishingiz kerak. To‘g‘ri yursangiz — $AB$ masofa. Agar oraliqdagi $C$ nuqtaga burilib borsangiz, yo‘l uzayadi. Mana shu — uchburchak tengsizligining mohiyati.

Qoida. Uchburchakning har qanday ikki tomoni yig‘indisi uchinchi tomondan katta:

$$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$$

Savol. $2$ sm, $3$ sm va $10$ sm tomonlar bilan uchburchak yasay olamizmi? Yo‘q! Chunki $2+3 = 5 < 10$ — qisqa ikki tomon uzun tomonga “yetib bormaydi”.

§2. Teskari xulosa

Tengsizlikni teskari yo‘nalishda ham ishlatish mumkin: uchinchi tomon ikki tomon ayirmasidan katta bo‘lishi shart.

Qoida. Uchburchakning bir tomoni qolgan ikki tomon ayirmasi bilan yig‘indisi orasida yotadi:

$$|a - b| < c < a + b$$

Eslatma. Masalada uchinchi tomonning butun qiymatlarini topish so‘ralsa, avval quyi va yuqori chegarani aniqlang, so‘ng orasidagi butun sonlarni sanang.

§3. Masalalar

Misol. Uchburchak tomonlari $4$ sm, $9$ sm va $x$ sm. $x$ qanday qiymatlarda uchburchak mavjud?
Yechish. Ikki chegara shartini yozamiz:

$$9 - 4 < x < 9 + 4 \;\Rightarrow\; 5 < x < 13$$

Javob. $5 < x < 13$.

Misol. Yuqoridagi uchburchakda $x$ butun son bo‘lsa, nechta variant bor?
Yechish. $5$ dan katta, $13$ dan kichik butun sonlar:

$$6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \;\Rightarrow\; 7 \text{ ta}$$

Javob. $7$ ta.

Misol. Tomonlari $5$, $8$, $14$ bo‘lgan uchburchak bormi?
Yechish. Eng uzun tomonni tekshiramiz:

$$5 + 8 = 13 < 14$$

Shart bajarilmadi.
Javob. Bunday uchburchak mavjud emas.

Misol. Teng yonli uchburchakning yon tomoni $6$ sm, asosi $x$. $x$ ning eng katta butun qiymati qancha?
Yechish. Asos ikki yon tomon yig‘indisidan kichik bo‘lishi shart:

$$x < 6 + 6 = 12$$

Eng katta butun qiymat $11$.
Javob. $x = 11$ sm.

§ Lug‘at

uchburchak tengsizligi — triangle inequality
tomon — side
yig‘indi — sum
ayirma — difference
chegara — bound
mavjud — exists
qiymat — value
yon tomon — leg (of isosceles)